EQUAÇÃO IRRACIONAL

EQUAÇÃO IRRACIONAL

Toda equação que apresenta a variável em um radicando é considerada uma equação irracional. Observe os exemplos:

Resolvendo uma equação irracional 

Exemplo 1 



1º passo: isolar o radical 


2º passo: elevar os dois membros da equação ao quadrado 


3º passo: organizar a equação 
x² - 10x +25 – x – 7 = 0 
x² - 11x + 18 = 0 

4º passo: resolver a equação x² - 11x + 18 = 0, aplicando o teorema de Bháskara. 


∆ = (-11)² - 4 * 1 * 18 
∆ = 121 - 72 
∆ = 49 

x’ = (11+7)/2 = 9 

x” = (11 – 7)/2 = 2 

EQUAÇÃO BIQUADRADA

EQUAÇÃO BIQUADRADA

Equações biquadradas é uma equação escrita da seguinte forma geral: ax⁴ + bx2 + c = 0. Para resolver (encontrarmos as sua raízes) é preciso transformá-las em uma equação do segundo grau. 

Para melhor compreensão veja no exemplo abaixo como essa transformação acontece e como chegamos às raízes da equação biquadrada. 

y⁴ – 10y² + 9 = 0 → equação biquadrada 

(y²)² – 10y² + 9 = 0 → também pode ser escrita assim. 

Substituindo variáveis: y² = x, isso significa que onde for y² iremos colocar x. 

x² – 10x + 9 = 0 → agora resolvemos essa equação do 2º grau encontrando x` e x`` 

a = 1    b = -10     c = 9 

∆ = b² – 4ac 
∆ = (-10)² – 4 . 1 . 9 
∆ = 100 – 36 
∆ = 64 

x = - b ± √∆             2a 

x = -(-10) ± √64 
             2 . 1 

x = 10 ± 8 
           2 

x’ = 9

x” = 1 

Essas são as raízes da equação x² – 10x + 9 = 0, para encontrarmos as raízes da equação biquadrada y⁴ – 10y2 + 9 = 0 devemos substituir os valores de x’ e x” emy² = x. 

Para x = 9 
y² = x 
y² = 9 
y = √9 
y = ± 3 

Para x = 1 
y² = x 
y² = 1 
y = √1 
y = ±1 

Portanto, a solução da equação biquadrada será: 

S = {-3, -1, 1, 3}.

EQUAÇÃO DO 2 GRAU COMPLETA

EQUAÇÃO DO 2 GRAU COMPLETA

Resolução de equações completas do 2º grau: aplicando o Teorema de Bháskara. 
Mostre aos alunos que quando a equação for completa será preciso que ele aplique um novo método de resolução: a fórmula de Bháskara. A fórmula é desenvolvida através do valor dos coeficientes a, b e c da própria equação. 

Fórmula de Bháskara

Nesse momento vamos ressaltar a relação do valor de ∆ (delta ou discriminante) com os possíveis resultados da equação do 2º grau. 

∆ < 0, a equação não possui raízes reais. 
∆ = 0, a equação possui uma única raiz. 
∆ > 0, a equação possui duas raízes reais e distintas. 

Resolvendo uma equação completa do 2º grau. 
x² - 7y + 6 = 0 

a = 1    b = -7    c = 6 
Calculando o valor de ∆                                    Calculando o valor de x 

EQUAÇÃO DO 2 GRAU INCOMPLETA

EQUAÇÃO DO 2 GRAU INCOMPLETA

A forma geral da equação do 2º grau é ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. Dessa forma, os coeficientes b e c podem assumir valor igual a zero, tornando a equação do 2º grau incompleta.

Veja alguns exemplos de equações completas e incompletas:

y² + y + 1 = 0 (equação completa)
2x² – x = 0 (equação incompleta, c = 0)
2t² + 5 = 0 (equação incompleta, b = 0)
5x² = 0 (equação incompleta b = 0 e c = 0)

Toda equação do segundo grau, seja ela incompleta ou completa, pode ser resolvida utilizando a equação de Bháskara:

As equações incompletas do 2º grau podem ser resolvidas de outro modo. Veja:

Coeficiente b = 0

Toda equação incompleta do 2º grau, que possui o termo b com valor igual a zero, pode ser resolvida isolando o termo independente. Observe a resolução a seguir:

4y² – 100 = 0
4y² = 100
y² = 100 : 4
y² = 25
√y² = √25
y’ = 5
y” = – 5 

Coeficiente c = 0 

Se a equação possui o termo c igual a zero, utilizamos a técnica de fatoração do termo comum em evidência.

3x² – x = 0 → x é um termo semelhante da equação, então podemos colocá-lo em evidência.
x(3x – 1) = 0 → quando colocamos um termo em evidência dividimos esse termo pelos termos da equação.

Agora, temos um produto (multiplicação) de dois fatores x e (3x – 1). A multiplicação desses fatores é igual a zero. Para essa igualdade ser verdadeira, um dos fatores deve ser igual a zero. Como não sabemos se é o x ou o (3x – 1), igualamos os dois a zero, formando duas equações de 1º grau, veja:

x’ = 0 → podemos dizer que zero é uma das raízes da equação.
e
3x –1 = 0
3x = 0 + 1
3x = 1
x’’ = 1/3 → é a outra raiz da equação.

GRANDEZAS

Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais - 19 Exercícios com gabarito

01. A soma da idade do pai e do filho é 45 anos. A idade do pai está para a idade do filho, assim como 7 está para 2. A idade do pai é:

A) 35 anos 
B) 33 anos
C) 40 anos 
D) 37 anos 
E) 38 anos

02. Uma empresa possui atualmente 2.100 funcionários. Se a relação entre o número de efetivos e contratados é de 5 por 2, quantos são os efetivos?

A) 600 
B) 1.000 
C) 1.500 
D) 1.600 
E) 1.800

03. A soma das idades de um pai, de um filho e de um neto é de 105 anos. Sabendo-se que a idade do pai está para 8, assim como a do filho está para 5 e a do neto está para 2, a idade, em anos, de cada um é, respectivamente:

A) 66, 29, 10

B) 62, 31, 12

C) 56, 37, 12

D) 56, 35, 14

E) 58, 38, 9

04. (UERE) Segundo uma reportagem, a razão entre o número total de alunos matriculados em um curso e o número de alunos não concluintes desse curso, nessa ordem, é de 9 para 7. A reportagem ainda indica que são 140 os alunos concluintes desse curso. Com base na reportagem, pode-se afirmar, corretamente, que o número total de alunos matriculados nesse curso é

(A) 180. 
(B) 260. 
(C) 490. 
(D) 520. 
(E) 630.

05. (VNSP) – Em uma padaria, a razão entre o número de pessoas que tomam café puro e o número de pessoas que tomam café com leite, de manhã, é 2/3. Se durante uma semana, 180 pessoas tomarem café de manhã nessa padaria, e supondo que essa razão permaneça a mesma, pode-se concluir que o número de pessoas que tomarão café puro será:

(A) 72. 
(B) 86. 
(C) 94.
(D) 105. 
(E) 112.

06. Dois números a e b diferem entre si em 18 unidades. a está para b, assim como 825 está para 627. Qual o valor de a + b?

A) 81 
B) 142 
C) 122 
D) 130
E) 132

07. (SPTR) – Em uma concessionária de veículos, a razão entre o número de carros vermelhos e o número de carros prateados vendidos durante uma semana foi de 3/11. Sabendo-se que nessa semana o número de carros vendidos (somente vermelhos e prateados) foi 168, pode-se concluir que, nessa venda, o número de carros prateados superou o número de carros vermelhos em

(A) 96. 
(B) 112. 
(C) 123.
(D) 132. 
(E) 138.

08. (SEED) – Paulo acertou 75 questões da prova objetiva do último simulado. Sabendo-se que a razão entre o número de questões que Paulo acertou e o número de questões que ele respondeu de forma incorreta é de 15 para 2, e que 5 questões não foram respondidas por falta de tempo, pode-se afirmar que o número total de questões desse teste era

(A) 110. 
(B) 105. 
(C) 100. 
(D) 95. 
(E) 90.

09. (CORM) – Em uma sala de aula, a razão entre meninos e meninas é de 3 para 7, nesta ordem. Em agosto, entraram mais 3 meninos nessa sala, mas uma menina mudou de colégio e isso fez com que a razão entre meninos e meninas agora fosse de 3 para 5. O número total de alunos dessa sala, em agosto, após essas mudanças, passou a ser de

(A) 28. 
(B) 30. 
(C) 32. 
(D) 34.
(E) 38.

10. Se (3, x, 14, …) e (6, 8, y, …) forem grandezas diretamente proporcionais, então o valor de x + y é:

a) 20 
b) 22
c) 24
d) 28
e) 32

11. (PUC) Se (2; 3; x; …) e (8; y; 4; …) forem duas sucessões de números diretamente proporcionais, então:

a) x = 1 e y = 6
b) x = 2 e y = 12
c) x = 1 e y = 12
d) x = 4 e y = 2 
e) x = 8 e y = 12

12. (MACK) Dividindo-se 70 em partes proporcionais a 2, 3 e 5, a soma entre a menor e a maior parte é:

a) 35 
b) 49 
c) 56
d) 42 
e) 28

13. (UFLA) Três pessoas montam uma sociedade, na qual cada uma delas aplica, respectivamente, R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00. O balanço anual da firma acusou um lucro de R$ 40.000,00. Supondo-se que o lucro seja dividido em partes diretamente proporcionais ao capital aplicado, cada sócio receberá, respectivamente:

a) R$ 5.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 25.000,00

b) R$ 7.000,00; R$ 11.000,00 e R$ 22.000,00

c) R$ 8.000,00; R$ 12.000,00 e R$ 20.000,00

d) R$ 10.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 20.000,00

e) R$ 12.000,00; R$ 13.000,00 e R$ 15.000,00

14. (ESA) Num exame de vestibular, a razão entre o número de vagas e o número de candidatos é de 3 para 8. Sabendo que há 15.600 candidatos inscritos, o número de vagas é:

A) 1950
B) 1975 
C) 5850 
D) 1900
E) 5700

15. (ESA) Repartindo 420 em três partes que são diretamente proporcionais aos números 3, 7 e 4, respectivamente, encontramos:

A) 90, 210 e 120

B) 90, 300 e 30

C) 60, 240 e 120

D) 60, 220 e 140

E) 90, 200 e 130

16. Dividindo o número 248 em partes inversamente proporcionais a 3, 5, 7 e 9, temos:

a) 105, 63, 45 e 35

b) 105, 53, 45 e 45

c) 100, 63, 45 e 40

d) 105, 60, 45 e 33

e) 100, 68, 45 e 35

17. Numa loja de automóveis, os vendedores recebem comissões proporcionais ao número de carros que vendem. Se, em uma semana, o gerente pagou um total de R$ 8.280,00 a quatro funcionários que venderam 3, 6, 7 e 9 carros, respectivamente, quanto ganhou o que menos carros vendeu?

A) R$ 993,60
B) R$ 808,00 
C) R$ 679,30 
D) R$ 587,10 
E) R$ 500,40

18. Três funcionários arquivaram um total de 382 documentos em quantidades inversamente proporcionais às suas respectivas idades: 28, 32 e 36 anos. Nessas condições, é correto afirmar que o número de documentos arquivados pelo funcionário mais velho foi:

A) 128 
B) 175 
C) 180 
D) 112 
E) 100

19. A soma de 3 números é 380. Calcule-os sabendo que são inversamente proporcionais aos números 2, 5 e 4.

a) 200, 110, 70 
b) 80, 90 e 210 
c) 200, 80 e 100 
d) 210, 100 e 70

GABARITO
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
A	C	D	E	A	E	A	E	C	E	C	B	C	C	A	A	A	D	C	-

EQUAÇÃO DO 2¤ GRAU (Incompleta)