LISTA DE EXERCÍCIOS - ÁREA DA REGIÃO HACHURADA

LISTA DE EXERCÍCIOS
ÁREA DA REGIÃO HACHURADA

1. Encontre a área da parte colorida em vermelho, sendo que o quadrado tem lado igual a 8 cm.

2. Encontre a área hachurada na figura abaixo, sabendo que o círculo com o raio igual a 6 m tangencia as duas bases do trapézio.

3. No quintal de Yasmin tem uma região com grama que representa uma coroa circular, ilustrada na figura abaixo:

Encontre a área total da região com grama. (Use π=3,14).

4. Encontre a área hachurada na figura abaixo cujo o círculo está inscrito em um quadrado de lado 10 m.

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Área de Figuras Planas - LISTA DE EXERCÍCIOS

Área de Figuras Planas 

1. Determine a área de uma sala quadrada, sabendo que a medida de seu lado é 6,45 m. R = 41,60 m² 

2. Vamos calcular a área de uma praça retangular, em que o comprimento é igual a 50 m e sua largura mede 35,6 m. R = 1780 m²

3. Calcule a área de um retângulo, em que a base mede 34 cm e sua altura mede a metade da base.    R = 578 cm²

4. É necessário um certo número de pisos de 25 cm x 25 cm para cobrir o piso de uma cozinha com 5 m de comprimento por 4 m de largura. Cada caixa tem 20 pisos. Supondo que nenhum piso se quebrará durante o serviço, quantas caixas são necessárias para cobrir o piso da cozinha?                   R = 16 caixas 

5. Quantos metros de tecido, no mínimo, são necessários para fazer uma toalha para uma mesa que mede 300 cm de comprimento por 230 cm de largura? R = 6,90 m² 

6. Na minha sala de aula, o piso é coberto com pisos sintéticos que medem 30 cm x 30 cm. Contei 21 lajotas paralelamente a uma parede e 24 pisos na direção perpendicular. Qual a área dessa sala?        R = 45,36 m²

7. Um pintor foi contratado para pintar uma sala retangular que mede 5,5 m x 7 m. Para evitar que a tinta respingue no chão ele vai forrar a sala com folhas de jornal. Quantos metros de folha de jornal ele vai precisar? R = 38,50 m² 

8. Determine a área de um triângulo, sabendo que sua base mede 5 cm e sua altura mede 2,2 cm.       R = 5,5 m²

9. Vamos calcular a área de um losango, sabendo que sua diagonal maior mede 5 cm e a diagonal menor mede 2,4 cm. R = 6 m²

10. Sabendo que a base maior de um trapézio mede 12 cm, base menor mede 3,4 cm e sua altura mede 5 cm. Calcule a área deste trapézio. R = 38,5 m²   

Área de figuras planas - Exercícios

Área de figuras planas - Exercícios

1. Determine a área de uma sala quadrada, sabendo que a medida de seu lado é 6,45 m.

2. Vamos calcular a área de uma praça retangular, em que o comprimento é igual a 50 m e 

sua largura mede 35,6 m.

3. Calcule a área de um retângulo, em que a base mede 34 cm e sua altura mede a metade da base.

4. É necessário um certo número de pisos de 25 cm x 25 cm para cobrir o piso de uma cozinha 

com 5 m de comprimento por  4 m de largura. Cada caixa tem 20 pisos. Supondo que nenhum 

piso se quebrará durante o serviço, quantas caixas são necessárias para cobrir o piso da cozinha?

5. Quantos metros de tecido, no mínimo, são necessários para fazer uma toalha para uma mesa que 

mede 300 cm de comprimento por 230 cm de largura?           

6. Um pintor foi contratado para pintar uma sala retangular que mede 5,5 m x 7 m. Para evitar que a 

tinta respingue no chão ele vai forrar a sala com folhas de jornal. Quantos metros de folha de jornal

 ele vai precisar?

7. Vamos calcular a área de um losango, sabendo que sua diagonal maior mede 5 cm e a diagonal 

menor mede 2,4 cm.

8. Sabendo que a base maior de um trapézio mede 12 cm, base menor mede 3,4 cm e sua altura

 mede 5 cm. Calcule a área deste trapézio.

RESPOSTA:

1- É só multiplicar um lado pelo outro.

6,45 m

        6,45 m

A = BASE X ALTURA

6,45 m x 6,45 m = 41, 6025 m²

R = 41,6025 m²

2- É só multiplicar um lado pelo outro.

35,6 m

                 50 m

A = BASE X ALTURA

50 m x 35,6 m = 1780m²

R = 1780m²

3- É só multiplicar um lado pelo outro.

17 cm

         34 cm

A = BASE X ALTURA

34 cm x  17 cm = 578 cm²

R = 578 cm²

^{4 -  Cada piso mede 25 cm de lado, cada caixa tem 20 pisos. O piso mede 5 m por 4 m.}

^{transformando na mesma unidade de metros para centimetros.}

4 m = 400 cm

5 m = 500 cm

25 cm x 25 cm =  625 cm²  

área do tijolo (piso)

cada caixa 20 tijolos (pisos)

625 x 20 = 12.500 cm²    (cada caixa)

400 cm x 500 cm = 200.000 cm²  

^{área total a ser coberta pelos (tijolos) pisos} 

200.000 : 12.500 = 16 caixas

R= 16 caixas.

5- Transformando em metros. 

300 cm = 3 m

230 cm = 2,3 m

Você pode transformar em metros após efetuar a multiplicação, é só fazer a 
divisão por 10000.

3 m x 2,3 m = 6,90m²

R=6,90m²

6- multiplica-se um lado pelo outro.

A = BASE X ALTURA
5,5 m x 7 m = 38,50 m²

R = 38,50 m²

^{7-  multiplica-se a base pela altura e dividir-se por 2.}

5 cm x 2,4 cm =12 m²

12 : 2 = 6 cm²

R = 6 cm²

^{8-  adiciona-se o lado maior com o lado menor do trapézio, multiplicando o resultado pela
 altura, e no  será dividido por 2.}

(12 + 3,4) x 5   

         2                   = 38,5 cm²

R = 38,5 cm²

Unidades de Área

Unidades de Área

Quilômetro quadrado km2	Hectômetro quadrado hm2	Decâmetro quadrado dam2	Metro quadrado m2	Decímetro quadrado dm2	Centímetro quadrado cm2	Milímetro   quadrado mm2

Regras Práticas:

• Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior devemos fazer uma multiplicação ou andar a vírgula de duas em duas duas unidades para direita.
  OBS: Quando o número não tem vírgula, deve-se colocar a vírgula no final do número.

Ex : 1 m² = 100,0 dm^{2    - duas unidades para direita
Ex :  3,4 dm² = 34000,0 mm²  - quatro unidades para direita}

• Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, devemos fazer uma divisão ou andar a vírgula de duas em duas unidades para esquerda.

Ex : 1 m² = 0,01 dam^{2 - duas unidades para esquerda}

^{Ex : 5,7 m² = 0,0000057 km² - seis unidades para esquerda} 

• Para passar de uma unidade para outra qualquer, basta aplicar sucessivas vezes uma das regras anteriores.

BIOGRAFIA... Copérnico

Co p é r n i c o

Matemático e Astrônomo polonês, Nikolaj Kopernik nasceu em Tourn, na Posnâmia ( região polonesa as margens do Vístula ), fronteira com a Alemanha em 14 de fevereiro de 1473, filho de um comerciante que o deixou órfão aos onze anos, tendo sido tutelado pelo seu tio materno Lucius Waczenrade, eleito bispo de Erimland em 1489. Vale salientar que latinizaram seu nome para Nicolaus Copernicus dando origem a forma aportuguesada Nicolau Copérnico.

Sob a orientação do astrônomo, matemático Wojcech Brudzewski, autor de um comentário ao livro do matemático austríaco Georg Von Peuerbach com respeito ao sistema de Cláudio Ptolomeu, em 1491 Kopernik ingressou na Universidade de Cracóvia devotando-se ao estudo do desenho, matemática e astronomia.

Ingressou para a Itália em 1496, onde permaneceu por um longo período estudando grego e direito canônico por três anos, o qual recebeu influência direta de Brudzewski pelos estudos humanísticos quando estava na Polônia, na Universidade de Bolonha e medicina na Universidade de Pádua.

Pelo fato de ter vivido no período Renascentista, no qual a restauração do espírito clássico nas letras e nas artes, conseqüência do surto de renovação intelectual e revolucionária do saber e da cultura, como também, ter servido à Igreja Católica, Kopernik, em 1501, regressou à Polônia para assumir o posto de cônego da catedral de Frauenburg mas, logo depois, partiu novamente para a Itália, onde em Bolonha associou-se a Domenico Maria Novarra, professor de astronomia da universidade, com quem parece ter feito as primeiras observações astronômicas, entre as quais a da ocultação de Aldebaran em 9 de março de 1497.

Regressando definitivamente à Polônia em 1506, Kopernik passou a dedicar-se à elaboração de seu novo e revolucionário sistema cosmológico. Com o objetivo de prosseguir nas observações astronômicas que iniciara durante os anos que permaneceu na Itália, estabeleceu-se um pequeno observatório. Em 1512 residiu alguns meses no palácio episcopal de Heilsberg, com seu tio Watzelrode. No mesmo ano, após o falecimento do seu tio, Kopernik voltou à Frauenburg.

Reiniciando seus estudos concernentes a sistemas celestial, apesar de não ter sido um grande observador, Kopernik, dedicou-se exclusivamente à astronomia, pois esta era a sua verdadeira paixão. Estudou o sistema de Filolau ( séc. V a.C. ) no qual existia dez corpos celestes em que uma anti-Terra ( a Terra, a Lua, os planetas Mercúrio, Vênus, Marte, Júpiter e Saturno ) e as estrelas, fixas, teriam como centro um Fogo Central, de origem divina; Eudoxo, contemporâneo de Platão, acreditava que a órbita circular de cada planeta estaria fixada a uma esfera que girava; este modelo foi aperfeiçoado por Calipo, discípulo de Eudoxo, que introduziu algumas esferas para melhor explicar os movimentos dos corpos celestes; Aristóteles** ( séc. IV a.C. ) elaborou um modelo do cosmo, segundo o qual o movimento dos corpos era circular e uniforme.

 A Terra, fixa, era o centro do universo; uma concepção heliocêntrica era a de Heráclides do Ponto ( 390 - 322 a.C. ) segundo a qual, sugeriu a rotação da Terra a fim de explicar o movimento observado nas estrelas, imaginando que Mercúrio e Vênus girassem em torno do Sol; Deve-se, porém, a outro pensador da antiguidade o primeiro modelo heliocêntrico do Universo: Aristarco de Samos estendeu as idéias de Heráclides para os demais planetas; preocupado em explicar com exatidão o movimento retrógrado dos planetas, surge o Modelo Geocêntrico Clássico o qual Hiparco estabeleceu o modelo em que a Terra permanece fixa no centro de um círculo giratório ( deferente ), sendo que um ponto desse círculo é o centro de outro círculo ( epiciclo , onde o planeta se movimenta, ou seja, cada planeta requer um sistema separado deferente-epiciclo; Ptolomeu ( séc. II d.C. ) aperfeiçoou o sistema de Hiparco construindo um modelo que durou cerca de quatorze séculos.

Interessado em preservar a perfeição do movimento circular, apesar de sua preocupação com a censura eclesiástica, pois respeitava e temia as autoridades religiosas, como também, ciente de que seria mais adequado para a igreja confirmar a teoria de Ptolomeu, pois as citações bíblicas se adequaria de modo mais conveniente, Kopernik, mesmo assim, construiu o modelo heliocêntrico, ou seja, os planetas deveriam girar em torno do Sol, havendo necessidade de introduzir alguns epiciclos em seu sistema com a finalidade de explicar alguns movimentos planetários.

Modelo coperniciano ou heliocêntrico para o sistema solar  se movem em órbitas concêntricas, estando o Sol no centro. A Terra é considerada como um planeta que gira em torno do próprio eixo e em torno do Sol.

Seu principal opositor foi o professor Tycho Brahe que rejeitava a hipótese heliocêntrica pelo fato de não se observar a paralaxe para o planeta Saturno. Seu modelo consistia em uma Terra estacionária, com um sistema de órbitas circulares para os planetas, centradas no Sol. Embora rejeitasse a hipótese copernicana, a observação do surgimento de uma nova estrela no céu abalou um pilar da concepção aristotélica de mundo vigente até então: A esfera celeste não era perfeita em sua imutabilidade. Adicionou-se a isto a observação de seis cometas com ausência de paralaxe, indicando não pertencerem a esfera sublunar. Na época, a crença era que Deus enviava os cometas à esfera sublunar como uma grave advertência, sendo muitos acontecimentos históricos serem associados à sua passagem. A observação da supernova e dos cometas constituiu marco decisivo para a derrubada da crença aristotélica da perfeição dos céus. Os trabalhos de Tycho Brahe tiveram um outro papel fundamental: suas mensurações de posições planetárias formaram a base para as conclusões de Kepler sobre as órbitas elípticas dos planetas. Em 1529, circulava entre os astrônomos um manuscrito " Nic. Copernici de Hypothesibus motuum coelestium a se constitutis commentariolus " ( Breves comentários de Nicolau Copérnico em torno de suas hipóteses sobre os movimentos celestes ) onde ele apresentava o sistema heliocêntrico como uma hipótese. O papa Clemente VII aprovou o ensino da teoria em Roma e o cardeal Schönberg solicitou sua publicação. Kopernik achava que era inútil antes que tivesse sido elaborada uma teoria completa, nitidamente superior ao sistema ptolomaico. Georg Joachim Rhäticus, professor de matemáticas em Wittenberg, veio a Frauenburg para discutir com Kopernik e tornar-se seu discípulo; após muita insistência, conseguiu autorização para tornar públicas essas idéias. Em 1540, foi permitido que George Joaquim Rhäticus, discípulo de Kopernik), através de uma notícia preliminar em " Narratio de libris revolutionun Copernici " (Narrativa acerca das obras de Copérnico sobre revoluções ) que publicasse suas idéias, ao mesmo tempo, que mandava para impressão, em Nuremberg, a obra completa, " De revolutionibus orbium coelestium " ( Das revoluções dos orbes celestes ). Finalmente em 1543, Rhäticus fez circular, em Nuremberg, a obra completa de Kopernik - Sobre a revolução das orbes celestes, onde a Teoria Heliocêntrica, era colocada de forma científica, e não como hipótese, estabelecendo assim, um marco definitivo na história da astronomia. Embora tenha encontrado alguns adeptos entre os seus contemporâneos, o sistema heliocêntrico de Kopernik só foi realmente consagrado depois dos trabalhos de Kepler e de

Galileo. O próprio Tycho Brahe, que devotava-o grande admiração e estima, negou-se a aceitar integralmente sua teoria. Em 24 de maio de 1543, faleceu na cidade de Frauenburg NIkolaj Kopernik.

BIOGRAFIA... A r q u i m e d e s

A r q u i m e d e s

Arquimedes - nome originário do grego Arkhimedes, matemático grego, nascido em Siracusa - Sicília em 287 a.C.. Estudou, desde jovem, em Alexandria onde conviveu com os grandes geômetras da época. Habituado, dados os costumes da sociedade aristocrática em que vivia, a não valorizar o trabalho manual, procurando sempre uma justificativa lógica para as conclusões que obtinha dos engenhos mecânicos que construía. As atividades de seu pai, o astrônomo Fídias, influíram, sem dúvida, na vocação e formação científica de Arquimedes. Criou um método para calcular o número π "pi" ( razão entre o perímetro de uma circunferência e o seu diâmetro ) com uma aproximação tão grande quanto se queira. Arquimedes acreditava que nada do que existe é tão grande que não se possa ser medido; por isso, aperfeiçoou o sistema grego de numeração, criando uma notação cômoda para os números muito grandes, semelhante ao atual sistema exponencial. Apresentou soluções para certos problemas ( como a do cálculo de " pi ", da área de um segmento de parábola, de um setor da espiral que leva o seu nome, da esfera, do cilindro, etc. ) que, de fa to, remontam ao cálculo infinitesimal, que só seria desenvolvido por quase 2.000 anos depois. Estudou os sólidos gerados pela revolução das cônicas em torno de seus eixos. Em mecânica, são atribuídas a Arquimedes algumas invenções, tais como, a rosca sem fim, a roldana móvel, a roda dentada e a alavanca ( " Dê-me uma alavanca e um ponto de apoio, e eu moverei o mundo " ). Lendas e pitorescas anedotas ilustram sua vida de inventor e sábio. Conta-se, por exemplo, que Arquimedes fora incumbido por Híeron, Rei de Siracusa, de verificar se a coroa que mandara fabricar em ouro puro continha alguma percentagem de prata. O descuidado matemático descobriu o meio de realizar essa tarefa, sem destruir a coroa, quando, ao banhar-se, notou que seu corpo se tornava mais leve imerso na água. Podia comparar, pelo transbordamento da água, o peso da coroa com o peso que deveria ter, se fe ita apenas de ouro. Saiu pelas ruas gritando: - Eureka! Eureka! ( achei! achei! ). Dessa maneira teria descoberto o famoso princípio da hidrostática que tem hoje seu nome, isto é "

Princípio de Arquimedes " o qual enunciaremos de duas maneiras, sendo que a primeira em duas partes.

A - Todo corpo submerso em um líquido, desloca desse liquido uma quantidade determinada, cujo volume é exatamente igual ao volume do corpo submerso. 3

B - O corpo submerso no líquido " perde " de seu peso uma quantidade igual ao peso do volume de líquido igual ao volume submerso do corpo. " Todo corpo mergulhado total ou parcialmente em um fluido sofre um empuxo vertical, dirigido de baixo para cima, igual ao, peso do volume do fluido deslocado, e aplicado no centro do empuxo " ( O centro de empuxo é o centro de gravidade do volume que corresponde à porção submersa do corpo ). Sua numerosa e profunda contribuição às matemáticas pode ser avaliada pela simples enumeração de obras: Dois volumes dedicados aos corpos redondos: esfera, cone e cilindro, contendo propriedades métricas rigorosamente demonstradas; Um livro dedicado às principais proposições referentes à métrica da circunferência e de seus arcos; Um tratado composto de trinta e duas proposições sobre conóides e esferóides ( Refere-se a sólidos que hoje designamos elipsóide, parabolóide ou hiperbolóide de revolução ), onde são estudadas as gerações de sólidos por revolução de seções cônicas; Um volume que encerra vinte e oito proposições a respeito das espirais, incluindo problemas de tangentes, raios vetores, área circunscrita; Dois livros que podem ser considerados como os primeiros estudos de mecânica teórica, onde são estudadas as propriedades dos centros de gravidade ou equilíbrio dos planos; Um livro contendo vinte e quatro proposições concernentes ao problema da quadratura da parábola ( este escrito oferece o primeiro exemplo de quadratura, isto é, de determinação de um polígono equivalente, de uma figura plana mistilínea: o segmento da parábola ) e a dedução da fórmula da área de qualquer segmento da parábola; Dois volumes dedicados aos princípios fundamentais da hidrostática e ao problemas do corpos flutuantes, incluindo um estudo relativo às formas mais hidrodinâmicas para embarcações; Um pequeno tratado referente ao problema das dimensões do universo; Um volume dedicado a Eratóstenes, seu grande amigo e confidente, em que explica como aplicava seu método, inicialmente indutivo e depois dedutivo; muitos dos importantes resultados que conseguira obter e demonstrar racionalmente haviam sido retirados de construções mecânicas; esse importante documento foi encontrado por J. L. Heiberg, em 1906, em um palimpsesto em Constantinopla; Uma coleção de lemas sobre geometria plana encerrando quinze proposições; Referências a trabalhos seus, sobre poliedros, e tentativas de estabelecer um sistema de numeração; balanças; refração das luz; movimento do Sol da Lua e dos planetas. A morte de Arquimedes foi narrada de diferentes maneiras. Dentre essas, encontramos a narrativa do seu assassinato por um soldado romano quando se encontrava na praia desenhando figuras geométricas na areia, durante o massacre que sucedeu à tomada de Siracusa, apesar das ordens expressas de Marcelo para que lhe preservassem a vida. O soldado o matou com uma lança por ter deixado de responder a uma pergunta. Esta narrativa encontra-se em um dos capítulos do livro " A história da matemática " de Jean- Étienne Montucha. Arquimedes foi morto no ano 212 a.C.