FUNÇÃO EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1.    Determine a função afim f(x) = ax + b, sabendo que f(1) = 5 e f(–3) = –7.

f(1) = 5
f(1) = a * 1 + b
5 = a + b
a + b = 5

f(–3) = –7
f(–3) = a * (–3) + b
f(–3) = –3a + b
–3a + b = –7

Sistema de equações

Isolando a na 1º equação

a + b = 5
a = 5 – b

Substituindo o valor de a na 2º equação
–3a + b = –7
–3 * (5 – b) + b = –7
–15 + 3b + b = –7
4b = –7 + 15
4b = 8
b = 2 

Substituindo o valor de b na 1º equação

a = 5 – b
a = 5 – 2
a = 3

A função será definida pela seguinte lei de formação: f(x) = 3x + 2.

2.    U. F. Viçosa-MG) Uma função f é dada por f(x) = ax + b, em que a e b são números reais. Se f(–1) = 3 e f(1) = –1, determine o valor de f(3).

f(x) = ax + b

f(–1) = 3
f(–1) = a * (–1) + b
3 = – a + b

f(1) = –1
f(1) = a * 1 + b
–1 = a + b

Sistema de equações

Isolando b na 1ª equação
–a + b = 3
b = 3 + a

Substituindo o valor de b na 2ª equação

a + b = –1
a + 3 + a = –1
2a = –1 – 3
2a = –4
a = – 2

Substituindo o valor de a na 1ª equação

b = 3 + a
b = 3 – 2
b = 1

A função será dada pela expressão f(x) = – 2x + 1. O valor f(3) será igual a:

f(3) = –2 * 3 + 1
f(3) = – 6 + 1
f(3) =  – 5

O valor de f(3) na função f(x) = – 2x + 1 é igual a –5.

3.    (PUC-BH) A função R(t) = at + b expressa o rendimento R, em milhares de reais, de certa aplicação. O tempo t é contado em meses, R(1) = –1 e R(2) = 1. Nessas condições, determine o rendimento obtido nessa aplicação, em quatro meses. 

R(1) = –1
R(1) = a * 1 + b
–1 = a + b
a + b = –1

R(2) = 1
R(2) = a * 2 + b
1 = 2a + b
2a + b = 1

Sistema de equações

Isolando b na 1ª equação
a + b = –1
b = –1 – a
Substituindo o valor de b na 2ª equação
2a + b = 1
2a + (–1 – a) = 1
2a – 1 – a = 1
a = 1 + 1
a = 2

Substituindo o valor de a na 1ª equação
b = – 1 – a
b = –1 – 2
b = –3

A função será dada pela seguinte lei de formação: R(t) = 2t – 3.

Fazendo f(4), temos:

R(t) = 2 * 4 – 3
R(t) = 8 – 3
R(t) = 5

O rendimento obtido nessa aplicação será de R$ 5 000,00. 

4.    Encontre o valor de f(x) = x² + 3x – 10 para que f(x) = 0

Δ = b² – 4.a.c
Δ = 3² – 4.1.(– 10)
Δ = 9 + 40
Δ = 49
x = – b ± √Δ
        2.a
x = – 3 ± √49
           2.1
x = – 3 ± 7
      2

x₁ = – 3 + 7
        2

x₁ = 4
        2
x₁ = 2

x₂ = – 3 – 7
         2

x₂ = – 10
        2
x₂ = – 5

Os dois valores de x para que f(x) = 0 são x₁ = 2 e x₂ = – 5.

5.    Calcule o valor de 5x² + 15x = 0 para que f(x) = 0

5x² + 15x = 0
5x.(x + 3) = 0
x₁ = 0
x₂ + 3 = 0
x₂ = – 3

Portanto, os valores de x para os quais f(x) = 0 são 0 e – 3

6. (UfSCar–SP) Uma bola, ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua trajetória descrita pela equação h(t) = – 2t² + 8t (t ≥ 0) , onde t é o tempo medido em segundo e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. Determine, apos o chute:

a) o instante em que a bola retornará ao solo.

b) a altura atingida pela bola.

a)    h(t) = – 2t² + 8t
0 = – 2t² + 8t
2t² – 8t = 0
2t.(t – 4) = 0
t' = 0
t'' – 4 = 0
t'' = 4

Portanto, o segundo momento em que a bola tocou no chão foi no instante de quatro segundos.

b) x_v = – b
          2a

y_v = – Δ
        4a

No caso apresentado, é interessante encontrar apenas y_v:

y_v = – Δ
        4a

y_v = – (b² – 4.a.c)
       4a

y_v = – (8² – 4.(–2).0)
          4.(– 2)

y_v = – (64 – 0)
          – 8
y_v = 8

Portanto, a altura máxima atingida pela bola foi de 8 metros.

7. Determine x pertence aos reais tal que (x² – 100x)².(x² – 101x + 100)² = 0.

x² – 100x = 0
x(x – 100) = 0
x₁ = 0
x₂ – 100 = 0
x₂ = 100

A segunda equação pode ser resolvida pela fórmula de Bhaskara:

x² – 101x + 100 = 0

Δ = b² – 4.a.c
Δ = (– 101)² – 4.1.100
Δ = 10201 – 400
Δ = 9801
x = – b ± √Δ
      2.a
x = – (– 101) ± √9801
         2.1
x = 101 ± 99
      2
x₃ = 101 + 99
      2
x₃ = 200
       2
x₃ = 100
x₄ = 101 – 99
       2
x₄ = 2
       2
x₄ = 1

Os valores de x que satisfazem a equação são 0, 1 e 100.

8. (UFPI) A função real de variável real, definida por f(x) = (3 – 2a)x + 2, é crescente quando:

a) a > 0                 c) a = 

b) a <                 d) a > 

Para f(x) ser crescente, devemos ter 3 – 2a > 0

Logo: –2a > –3 · (–1)

2a < 3  a < 

Resposta: B

9. (Mackenzie-SP) A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabendo-se que f(–1) = 3 e f(1) = 1, o valor de f(3) é:

a) 0                 d) –3

b) 2                 e) –1

c) –5

Assim, f(3) = –3 + 2 = –1

Resposta: E

10. Numa certa cidade operam duas empresas de táxis. A empresa E cobra pela bandeirada inicial R$ 6,00 e por quilômetro rodado R$ 3,00. Enquanto que a empresa F cobra apenas por quilômetro rodado R$ 4,00. Pede-se as funções de cada empresa e o gráfico comparativo entre elas.

Um taxista da empresa E cobra a cada quilômetro R$ 3,00. Daí temos que para x quilômetros a expressão será 3x. Como há também o valor fixo da bandeirada que é de R$ 6,00, a função para esta empresa é y = 3x + 6, onde y é o preço e x o número de quilômetros rodados. Já a empresa F não cobra a bandeirada então a função desta empresa é y = 4x.

Respostas: 

Empresa E: y = 3x + 6

Empresa F: y = 4x

11. O preço de venda de um livro é de R$ 25,00 a unidade. Sabendo que o custo de cada livro corresponde a um valor fixo de R$ 4,00 mais R$ 6,00 por unidade, construa uma função capaz de determinar o lucro líquido (valor descontado das despesas) na venda de x livros, e o lucro obtido na venda de 500 livros. 

Venda = função receita 
R(x) = 25 * x 

Fabricação: função custo 
C(x) = 6 * x + 4 

Lucro = receita – custo 
L(x) = 25x – (6x + 4) 
L(x) = 25x – 6x – 4 
L(x) = 19x – 4 

Lucro líquido será determinado pela função: L(x) = 19x – 4. 

Lucro na venda de 500 livros 

L(500) = 19 * 500 – 4 
L(500) = 9 496 

O lucro obtido na venda de 500 livros é de R$ 9 496,00. 

12. O salário de um vendedor é composto de uma parte fixa no valor de R$ 800,00, mais uma parte variável de 12% sobre o valor de suas vendas no mês. Caso ele consiga vender R$ 450 000,00, calcule o valor de seu salário. 

f(x) = 12% de x (valor das vendas mensais) + 800 (valor fixo) 
f(x) = 12/100 * x + 800 
f(x) = 0,12x + 800 

f(450 000) = 0,12 * 450 000 + 800 
f(450 000) = 54 000 + 800 
f(450 000) = 54 800 

O salário do vendedor será de R$ 54 800,00. 

13. (Enem 2011)

Resolução:

y = ax + b
y = 4 300 x + b

Em 2 meses y = 880 605, então:

880 605 =  4 300 . 2 + b

880 605 = 8 600 + b

880 605 -  8 600 = b 

872 005 = b

b = 872 005 

y =  4 300 x + 872 005

14. (UFSC) Sabendo que a função f(x) = mx + n admite 5 como raiz e f(-2) = -63 , o valor de f(16) é:

Admitir 5 como raiz quer dizer que quando y = 0 o valor de x é 5. Além disso, temos outro ponto da função, quando x = -2, y = -63. Assim, substituindo o primeiro ponto:

y = mx + n

0 = 5m + n

n = -5m

Substituindo o segundo ponto:
y = mx + n
-63 = -2m + n
-63 = -2m - 5m
-63 = -7m
m = -63 / -7
m = 9

Voltando:

n = -5m

n = -5.9

n = -45

Então a função é f(x) = 9x - 45, calculando f(16):

f (16) = 9.16 - 45

f (16) = 144 - 45

f (16) = 99

Gabarito: 99

15. (ACAFE) Um táxi começa uma corrida com o taxímetro marcando R$ 4,00. Cada quilômetro rodado custa R$1,50. Se ao final de uma corrida, o passageiro pagou R$ 37,00 , a quantidade de quilômetros percorridos foi:

a)26                b)11            c)33               d)22             e)32

A função será y = 1,5x + 4, onde y (preço a ser pago) está em função de x (número de quilômetros rodados).

y = 1,5x + 4

Se ele pagou R$ 37, esse é o y, assim encontramos o número de quilômetros rodados x:

37 = 1,5x + 4

37 - 4 = 1,5x

33 = 1,5x

x = 22

Gabarito Letra: D

16. (Vunesp 2010) Para discutir a relação entre escalas de temperatura, os professores de matemática e ciências inventaram duas escalas, chamadas de escala X e escala Y. A relação entre temperaturas dessas duas escalas é dada por uma função polinomial do 1.º grau, representada por Y = mX + n, sendo m e n constantes reais, e Y e X as temperaturas nas escalas Y e X, respectivamente. Os professores disponibilizaram para seus alunos a seguinte tabela:

De acordo com os dados da tabela, é correto afirmar que m é igual a
(A) –1,25.
(B) –0,8.
(C) 0,8.
(D) 1,25.
(E) 6,5.

Para o ponto (-10,20), temos m . (-10) + n = 20, isto é, 10m = -20 + n
Para o ponto (10,45), temos m . 10 + n = 45, isto é, 10m = 45 - n

Substituindo 10m = -20 + n em 10m = 45 - n, vem:
-20 + n = 45 - n
n + n = 45 + 20
2n = 65
n = 65/2 

Substituindo n = 65/2 em 10m = 45 - n, vem:
10m = 45 - 65/2
m = 45/10 - 65/20
m = 9/2 - 6,5/2
m = 2,5/2 = 1,25

17. (UERJ) Em uma partida, Vasco e Flamengo levaram ao Maracanã 90.000 torcedores. Três portões foram abertos às 12 horas e até as 15 horas entrou um número constante de pessoas por minuto. A partir desse horário, abriram-se mais 3 portões e o fluxo constante de pessoas aumentou. Os pontos que definem o número de pessoas dentro do estádio em função do horário de entrada estão contidos no gráfico abaixo:

Quando o número de torcedores atingiu 45.000, o relógio estava marcando 15 horas e:

(A) 20 min
(B) 30 min
(C) 40 min
(D) 50 min

Antes das 15 horas temos uma função do primeiro grau que cresce com menor rapidez. A partir das 15 horas o gráfico é uma função do primeiro grau que cresce com maior rapidez.

Para x = 15, y = 30000. Para x = 17, y = 90000. Como y = ax + b, temos o sistema:

30000 = 15a + b  

e

90000 = 17a + b

Uando o método da adição, segue:

60000 = 2a

a = 30000

Substituindo na primeira:

30000 = 15(30000) + b

b = - 420000

Então a função é y = 30000x - 420000.

Quando y = 450000, temos:

45000 = 30000x - 420000

45000 + 420000 = 30000x

x = 465000 / 30000 = 15,5 horas = 15 horas + 0,5 horas

x = 15 horas e 30 minutos (alternativa B).

18. (FAAP – SP)

Uma indústria produz, por dia, x unidades de determinado produto, e pode vender tudo o que produzir a um preço de R$ 100,00 a unidade. Se x unidades são produzidas a cada dia, o custo total, em reais, da produção diária é igual a x² + 20x + 700. Portanto, para que a indústria tenha lucro diário de R$ 900,00, qual deve ser o número de unidades produzidas e vendidas por dia? 

Função Receita
y = 100 * x

Função Custo
y = x² + 20x + 700

Função Lucro = Receita – Custo
y = 100x – (x² + 20x + 700)
y = 100x – x² – 20x – 700
y = –x² + 80x – 700

Lucro diário de R$ 900,00
–x² + 80x – 700 = 900
–x² + 80x –700 – 900 = 0
–x² + 80x – 1600 = 0

Vamos utilizar Xv na determinação da quantidade de produtos a serem produzidos e vendidos visando o lucro diário de R$ 900,00.

A empresa deverá produzir e vender a quantidade de 40 produtos. 

19. (Cesesp – PE)

Um fabricante vende mensalmente c unidades de um determinado artigo por V(x) = x² – x, sendo o custo da produção dado por C(x) = 2x² – 7x + 8. Quantas unidades devem ser vendidas mensalmente, de modo que se obtenha o lucro máximo? 

L(x) = V(x) – C(x)
L(x) = x² – x – (2x² – 7x + 8)
L(x) = x² – x – 2x² + 7x – 8
L(x) = –x² + 6x – 8 

Aplicando Xv

A empresa deverá vender mensalmente 3 unidades do produto.
 

20. (PUC – SP)

Uma bola é largada do alto de um edifício e cai em direção ao solo. Sua altura h em relação ao solo, t segundos após o lançamento, é dada pela expressão h = –25t² + 625. Após quantos segundos do lançamento a bola atingirá o solo?

Quando a bola atingir o solo, sua posição será igual a zero, então:
h = 0
0 = –25t² + 625
25t² = 625
t² = 625 / 25
t² = 25
√t² = √25
t = 5

A bola levará 5 segundos para atingir o solo.

21. (PUC – Campinas – SP)

A trajetória de um projétil foi representada no plano cartesiano por

 com uma unidade representando um quilômetro. Determine a altura máxima que o projétil atingiu.

Vamos calcular a altura máxima através da fórmula do yv.

A altura máxima atingida pelo projétil foi de 62,5 metros.

22. (PC MG 2008 – Acadepol). O número de ocorrências registradas das 12 às 18 horas em um dia do mês de janeiro, em uma delegacia do interior de Minas Gerais, é dado por f(t) = – t² + 30t – 216, em que 12 ≤ t ≤ 18 é a hora desse dia. Pode-se afirmar que o número máximo de ocorrências nesse período do dia foi

A) 0

B) 9

C) 15

D) 18

Temos que a função quadrática f(t) = – t² + 30t – 216 tem como gráfico uma parábola com a concavidade para baixo (a é menor que 0).

Assim sendo, o t que faz a função ser máxima é justamente o t do vértice, que pode ser calculado utilizando a fórmula abaixo:

t(v) = -b/2a = -30/2(-1) = 15

Logo, t = 15 horas foi o momento de maior número de ocorrências.

Como já sabemos o momento de maior ocorrência, vamos agora calcular t(15):

t(15) = – 15² + 30.15 – 216 = -225 + 450 – 216 = 9 ocorrências.

Obs: Outra opção seria calcular o y do vértice pela fórmula yv = – Δ/4a.

Resposta: B

23.  (CFO PM ES 2013 – Exatus). Uma agência de viagens vende pacote turísticos coletivos com destino a Fortaleza. Um pacote para 40 clientes custa R$ 2000,00 por pessoa e, em caso de desistência, cada pessoa que permanecer no grupo deve pagar mais R$ 100,00 por cada desistente do pacote de viagem. Dessa forma, para que essa agência obtenha lucro máximo na venda desse pacote de viagens, o número de pessoas que devem realizar a viagem é igual a:

Resolução:

Sendo x a quantidade de pessoas, o preço total é dado pela quantidade de pessoas vezes o preço por pessoa, que é 2000 mais 100 por desistente.

C(x) = x(2000 + 100(40 – x))

C(x) = x(2000 + 4000 – 100x)

C(x) = x(6000 – 100x)

C(x) = 6000x – 100x²

Temos uma função do segundo grau.

Vamos calcular as raízes:

6000x – 100x² = 0

60x – x² = 0

x(60 – x) = 0

Assim, x = 0 ou x = 60

Como em nossa função o valor de a = -100 < 0, o gráfico é uma parábola para baixo, portanto possui valor máximo, e é exatamente o valor entre as raízes 0 e 60, portanto o valor máximo ocorre quando x = 30.

Resposta: 30 pessoas

24. (PM ES 2013 – Exatus). Assinale a alternativa correta:

a) O gráfico da função y = x² + 2x não intercepta o eixo y.

b) O gráfico da função y = x² + 3x + 5 possui concavidade para baixo.

c) O gráfico da função y = 5x – 7 é decrescente.

d) A equação x² + 25 = 0 possui duas raízes reais e diferentes.

e) A soma das raízes da função y = x² – 3x – 10 é igual a 3.

Resolução

a) FALSA: Uma parábola sempre intercepta o eixo y.

b) FALSA: O valor de a = 1 >0. Concavidade para cima.

c) FALSA: O valor de a = 5 > 0. Crescente.

d) FALSA: Nenhum número Real elevado ao quadrado fica negativo.

e) VERDADEIRA

Lembrando da fórmula da soma das raízes:

Soma = -b/a = -(-3)/1 = 3

Resposta: E

25. (PM ES 2013 – Funcab). Dada a função quadrática f(x) = -2.x² + 4.x – 9, as coordenadas do vértice do gráfico da parábola definida por f(x), é:

A) V = (-7; 1)

B) V = (1; -7)

C) V = (0; 1)

D) V = (-7; 0)

E) V = (0; 0)

Resolução:

Considerando que trata-se de uma função quadrática, vamos utilizar a fórmula do x do vértice:

xv = -b/2a = -4/2(-2) = 4/4 = 1

Para calcular o y, basta utilizar x=1:

y = -2.1 + 4.1 – 9 = -2 + 4 – 9 = -7

Clique aqui para assistir a resolução

Resposta: B

26. (PM ES 2013 – Funcab). Uma festa no pátio de uma escola reuniu um público de 2.800 pessoas numa área retangular de dimensões x e x + 60 metros. O valor de , em metros, de modo que o público tenha sido de, aproximadamente, quatro pessoas por metro quadrado, é:

A) 5 m

B) 6 m

C) 8 m

D) 10 m

E) 12 m

Resolução:

A área de um retângulo é calculada multiplicando-se a base pela altura.

Temos:

Área = x.(x + 60)

Área = x² + 60x

Como existem 2800 pessoas e queremos 4 pessoas por m²:

4.(x² + 60x) = 2800

4x² + 240x = 2800

4x² + 240x – 2800 = 0

Dividindo todos os membros por 4:

x² + 60x – 700 = 0

Utilizando as fórmulas de soma e produto:

Soma das raízes = -b/a = -60

Produto das raízes: c/a = -700

É fácil observar que as raízes são 10 e -60. Como x representa medida, descartamos o -60, e a resposta será 10 m.

Resposta: D

27. (PM Acre Soldado 2012 – Funcab). Determine o valor de x que provoca o valor máximo da função real f(x) = -x² + 7x – 10.

A) 3,5

B) – 2

C) 0

D) 10

E) – 1,5

Resolução:

Como temos uma função quadrática, vamos achar as raízes pelo método de soma e produto:

a = -1, b = 7, c = -1

Soma = -b/a = -7/-1 = 7

Produto = -10/-1 = 10

Dois números cuja soma é 7 e o produto é 10. As raízes são 2 e 5.

O valor máximo (pois a é negativo) é a média das raízes:

(2 + 5)/2 = 7/2 = 3,5

Resposta: A

28. (PM Acre Músico 2012 – Funcab). Sabendo que uma função quadrática possui uma raiz igual a -2 e que obtém seu valor máximo quando x = 5, determine o valor da outra raiz dessa função.

A) 3

B) 7

C) 10

D) 12

E) 15

Resolução:

Basta sabermos o valor de x que faz a função quadrática ter um valor máximo é a média aritmética das raízes:

Considerando que as raízes são -2 e k, e que a média deles é 5, temos:

(-2 + k)/2 = 5

-2 + k = 10

k = 10 + 2

k = 12

Resposta: D

29. (PM Pará 2012). Uma empresa criou o modelo matemático L(x)=-100x²+1000×-1900 para representar o lucro diário obtido pela venda de certo produto, na qual x representa as unidades vendidas. O lucro máximo diário obtido por essa empresa é igual a:

a) R$600,00

b) R$700,00

c) R$800,00

d) R$900,00

e) R$1.000,00

Resolução:

Como temos uma função do segundo grau, onde a é negativo, basta calcularmos o y do vértice, pois este será o máximo da função:

Pela fórmula:

y do vértice = – Δ/4a

Vamos primeiro calcular o valor de Δ:

Δ = b² – 4.a.c = 1000² – 4.(-100).(-1900) = 1000000 – 760000 = 240000

yv = -Δ/4a = -240000/4.(-100) = 240000/400 = 600

Resposta: A