EQUAÇÃO IRRACIONAL

EQUAÇÃO IRRACIONAL

Toda equação que apresenta a variável em um radicando é considerada uma equação irracional. Observe os exemplos:

Resolvendo uma equação irracional 

Exemplo 1 



1º passo: isolar o radical 


2º passo: elevar os dois membros da equação ao quadrado 


3º passo: organizar a equação 
x² - 10x +25 – x – 7 = 0 
x² - 11x + 18 = 0 

4º passo: resolver a equação x² - 11x + 18 = 0, aplicando o teorema de Bháskara. 


∆ = (-11)² - 4 * 1 * 18 
∆ = 121 - 72 
∆ = 49 

x’ = (11+7)/2 = 9 

x” = (11 – 7)/2 = 2 

EQUAÇÃO BIQUADRADA

EQUAÇÃO BIQUADRADA

Equações biquadradas é uma equação escrita da seguinte forma geral: ax⁴ + bx2 + c = 0. Para resolver (encontrarmos as sua raízes) é preciso transformá-las em uma equação do segundo grau. 

Para melhor compreensão veja no exemplo abaixo como essa transformação acontece e como chegamos às raízes da equação biquadrada. 

y⁴ – 10y² + 9 = 0 → equação biquadrada 

(y²)² – 10y² + 9 = 0 → também pode ser escrita assim. 

Substituindo variáveis: y² = x, isso significa que onde for y² iremos colocar x. 

x² – 10x + 9 = 0 → agora resolvemos essa equação do 2º grau encontrando x` e x`` 

a = 1    b = -10     c = 9 

∆ = b² – 4ac 
∆ = (-10)² – 4 . 1 . 9 
∆ = 100 – 36 
∆ = 64 

x = - b ± √∆             2a 

x = -(-10) ± √64 
             2 . 1 

x = 10 ± 8 
           2 

x’ = 9

x” = 1 

Essas são as raízes da equação x² – 10x + 9 = 0, para encontrarmos as raízes da equação biquadrada y⁴ – 10y2 + 9 = 0 devemos substituir os valores de x’ e x” emy² = x. 

Para x = 9 
y² = x 
y² = 9 
y = √9 
y = ± 3 

Para x = 1 
y² = x 
y² = 1 
y = √1 
y = ±1 

Portanto, a solução da equação biquadrada será: 

S = {-3, -1, 1, 3}.

EQUAÇÃO DO 2 GRAU COMPLETA

EQUAÇÃO DO 2 GRAU COMPLETA

Resolução de equações completas do 2º grau: aplicando o Teorema de Bháskara. 
Mostre aos alunos que quando a equação for completa será preciso que ele aplique um novo método de resolução: a fórmula de Bháskara. A fórmula é desenvolvida através do valor dos coeficientes a, b e c da própria equação. 

Fórmula de Bháskara

Nesse momento vamos ressaltar a relação do valor de ∆ (delta ou discriminante) com os possíveis resultados da equação do 2º grau. 

∆ < 0, a equação não possui raízes reais. 
∆ = 0, a equação possui uma única raiz. 
∆ > 0, a equação possui duas raízes reais e distintas. 

Resolvendo uma equação completa do 2º grau. 
x² - 7y + 6 = 0 

a = 1    b = -7    c = 6 
Calculando o valor de ∆                                    Calculando o valor de x 

EQUAÇÃO DO 2 GRAU INCOMPLETA

EQUAÇÃO DO 2 GRAU INCOMPLETA

A forma geral da equação do 2º grau é ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. Dessa forma, os coeficientes b e c podem assumir valor igual a zero, tornando a equação do 2º grau incompleta.

Veja alguns exemplos de equações completas e incompletas:

y² + y + 1 = 0 (equação completa)
2x² – x = 0 (equação incompleta, c = 0)
2t² + 5 = 0 (equação incompleta, b = 0)
5x² = 0 (equação incompleta b = 0 e c = 0)

Toda equação do segundo grau, seja ela incompleta ou completa, pode ser resolvida utilizando a equação de Bháskara:

As equações incompletas do 2º grau podem ser resolvidas de outro modo. Veja:

Coeficiente b = 0

Toda equação incompleta do 2º grau, que possui o termo b com valor igual a zero, pode ser resolvida isolando o termo independente. Observe a resolução a seguir:

4y² – 100 = 0
4y² = 100
y² = 100 : 4
y² = 25
√y² = √25
y’ = 5
y” = – 5 

Coeficiente c = 0 

Se a equação possui o termo c igual a zero, utilizamos a técnica de fatoração do termo comum em evidência.

3x² – x = 0 → x é um termo semelhante da equação, então podemos colocá-lo em evidência.
x(3x – 1) = 0 → quando colocamos um termo em evidência dividimos esse termo pelos termos da equação.

Agora, temos um produto (multiplicação) de dois fatores x e (3x – 1). A multiplicação desses fatores é igual a zero. Para essa igualdade ser verdadeira, um dos fatores deve ser igual a zero. Como não sabemos se é o x ou o (3x – 1), igualamos os dois a zero, formando duas equações de 1º grau, veja:

x’ = 0 → podemos dizer que zero é uma das raízes da equação.
e
3x –1 = 0
3x = 0 + 1
3x = 1
x’’ = 1/3 → é a outra raiz da equação.

GRANDEZAS

Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais - 19 Exercícios com gabarito

01. A soma da idade do pai e do filho é 45 anos. A idade do pai está para a idade do filho, assim como 7 está para 2. A idade do pai é:

A) 35 anos 
B) 33 anos
C) 40 anos 
D) 37 anos 
E) 38 anos

02. Uma empresa possui atualmente 2.100 funcionários. Se a relação entre o número de efetivos e contratados é de 5 por 2, quantos são os efetivos?

A) 600 
B) 1.000 
C) 1.500 
D) 1.600 
E) 1.800

03. A soma das idades de um pai, de um filho e de um neto é de 105 anos. Sabendo-se que a idade do pai está para 8, assim como a do filho está para 5 e a do neto está para 2, a idade, em anos, de cada um é, respectivamente:

A) 66, 29, 10

B) 62, 31, 12

C) 56, 37, 12

D) 56, 35, 14

E) 58, 38, 9

04. (UERE) Segundo uma reportagem, a razão entre o número total de alunos matriculados em um curso e o número de alunos não concluintes desse curso, nessa ordem, é de 9 para 7. A reportagem ainda indica que são 140 os alunos concluintes desse curso. Com base na reportagem, pode-se afirmar, corretamente, que o número total de alunos matriculados nesse curso é

(A) 180. 
(B) 260. 
(C) 490. 
(D) 520. 
(E) 630.

05. (VNSP) – Em uma padaria, a razão entre o número de pessoas que tomam café puro e o número de pessoas que tomam café com leite, de manhã, é 2/3. Se durante uma semana, 180 pessoas tomarem café de manhã nessa padaria, e supondo que essa razão permaneça a mesma, pode-se concluir que o número de pessoas que tomarão café puro será:

(A) 72. 
(B) 86. 
(C) 94.
(D) 105. 
(E) 112.

06. Dois números a e b diferem entre si em 18 unidades. a está para b, assim como 825 está para 627. Qual o valor de a + b?

A) 81 
B) 142 
C) 122 
D) 130
E) 132

07. (SPTR) – Em uma concessionária de veículos, a razão entre o número de carros vermelhos e o número de carros prateados vendidos durante uma semana foi de 3/11. Sabendo-se que nessa semana o número de carros vendidos (somente vermelhos e prateados) foi 168, pode-se concluir que, nessa venda, o número de carros prateados superou o número de carros vermelhos em

(A) 96. 
(B) 112. 
(C) 123.
(D) 132. 
(E) 138.

08. (SEED) – Paulo acertou 75 questões da prova objetiva do último simulado. Sabendo-se que a razão entre o número de questões que Paulo acertou e o número de questões que ele respondeu de forma incorreta é de 15 para 2, e que 5 questões não foram respondidas por falta de tempo, pode-se afirmar que o número total de questões desse teste era

(A) 110. 
(B) 105. 
(C) 100. 
(D) 95. 
(E) 90.

09. (CORM) – Em uma sala de aula, a razão entre meninos e meninas é de 3 para 7, nesta ordem. Em agosto, entraram mais 3 meninos nessa sala, mas uma menina mudou de colégio e isso fez com que a razão entre meninos e meninas agora fosse de 3 para 5. O número total de alunos dessa sala, em agosto, após essas mudanças, passou a ser de

(A) 28. 
(B) 30. 
(C) 32. 
(D) 34.
(E) 38.

10. Se (3, x, 14, …) e (6, 8, y, …) forem grandezas diretamente proporcionais, então o valor de x + y é:

a) 20 
b) 22
c) 24
d) 28
e) 32

11. (PUC) Se (2; 3; x; …) e (8; y; 4; …) forem duas sucessões de números diretamente proporcionais, então:

a) x = 1 e y = 6
b) x = 2 e y = 12
c) x = 1 e y = 12
d) x = 4 e y = 2 
e) x = 8 e y = 12

12. (MACK) Dividindo-se 70 em partes proporcionais a 2, 3 e 5, a soma entre a menor e a maior parte é:

a) 35 
b) 49 
c) 56
d) 42 
e) 28

13. (UFLA) Três pessoas montam uma sociedade, na qual cada uma delas aplica, respectivamente, R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00. O balanço anual da firma acusou um lucro de R$ 40.000,00. Supondo-se que o lucro seja dividido em partes diretamente proporcionais ao capital aplicado, cada sócio receberá, respectivamente:

a) R$ 5.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 25.000,00

b) R$ 7.000,00; R$ 11.000,00 e R$ 22.000,00

c) R$ 8.000,00; R$ 12.000,00 e R$ 20.000,00

d) R$ 10.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 20.000,00

e) R$ 12.000,00; R$ 13.000,00 e R$ 15.000,00

14. (ESA) Num exame de vestibular, a razão entre o número de vagas e o número de candidatos é de 3 para 8. Sabendo que há 15.600 candidatos inscritos, o número de vagas é:

A) 1950
B) 1975 
C) 5850 
D) 1900
E) 5700

15. (ESA) Repartindo 420 em três partes que são diretamente proporcionais aos números 3, 7 e 4, respectivamente, encontramos:

A) 90, 210 e 120

B) 90, 300 e 30

C) 60, 240 e 120

D) 60, 220 e 140

E) 90, 200 e 130

16. Dividindo o número 248 em partes inversamente proporcionais a 3, 5, 7 e 9, temos:

a) 105, 63, 45 e 35

b) 105, 53, 45 e 45

c) 100, 63, 45 e 40

d) 105, 60, 45 e 33

e) 100, 68, 45 e 35

17. Numa loja de automóveis, os vendedores recebem comissões proporcionais ao número de carros que vendem. Se, em uma semana, o gerente pagou um total de R$ 8.280,00 a quatro funcionários que venderam 3, 6, 7 e 9 carros, respectivamente, quanto ganhou o que menos carros vendeu?

A) R$ 993,60
B) R$ 808,00 
C) R$ 679,30 
D) R$ 587,10 
E) R$ 500,40

18. Três funcionários arquivaram um total de 382 documentos em quantidades inversamente proporcionais às suas respectivas idades: 28, 32 e 36 anos. Nessas condições, é correto afirmar que o número de documentos arquivados pelo funcionário mais velho foi:

A) 128 
B) 175 
C) 180 
D) 112 
E) 100

19. A soma de 3 números é 380. Calcule-os sabendo que são inversamente proporcionais aos números 2, 5 e 4.

a) 200, 110, 70 
b) 80, 90 e 210 
c) 200, 80 e 100 
d) 210, 100 e 70

GABARITO
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
A	C	D	E	A	E	A	E	C	E	C	B	C	C	A	A	A	D	C	-

EQUAÇÃO DO 2¤ GRAU (Incompleta)

MATEMÁTICA PARA TODOS OS CONCURSOS 10° parte (DESCONTO POR DENTRO)

10º CAPÍTULO: DESCONTO POR DENTRO.

CÁLCULO DO DESCONTO POR DENTRO.

1. Taxa: 70% a. a.   Tempo: 2 meses   Valor atual: R$ 4.800,00. Desconto racional?

2. DD =?   I = 2/3% a. m.    T = 1 m 2 d    VL = R$ 3.600,00

3. Qual é o desconto por dentro de um título de R$ 38.400,00, à taxa de 6% a. a., vencível em 1 a 1 m 10 d?

4. Uma dívida de R$ 36,20 foi paga 1 m 10 d antes de vencimento, a 5% ao ano. Qual foi o desconto racional?

5. Um letra foi descontada em 10.1.1916, à taxa de 10% a. m. Sabendo-se que seu valor nominal é de R$ 3.700,00, e vencível em 20.3.1916, calcule o desconto por dentro.

6. Uma nota promissória, de R$ 1.820,00, vencível em 7 de agosto, sofreu um desconto por dentro, à taxa de 10% a. a., em 2 de junho do mesmo ano. Determine o desconto.

7. Uma letra foi descontada à taxa anual de 60%, 5 meses antes do seu vencimento. Sendo que a diferença entre o desconto bancário e o por dentro é de R$ 2,50, qual é o desconto racional?

8. Operação de desconto efetivada à taxa de 4% ao mês, 2,5 meses antes do vencimento. A diferença entre o D. D. e o D. F. é de R$ 8,80. D. D. = ?

9. Determine a diferença entre o desconto por fora e o racional de uma duplicata de R$ 156,00, descontada à taxa de 40% a. a., 2,5 meses antes do vencimento.

10. Calcule a diferença entre o desconto comercial e por dentro de uma letra de R$ 600,00, descontada à taxa mensal de 0,25%, 2 anos antes de seu vencimento.

11. Determine a diferença entre os descontos bancários e racional, que pode sofrer um título à taxa mensal de 1/2%, 60 dias antes do seu vencimento, sabendo-se que o desconto comercial, calculado nas mesmas condições, é de R$ 101,00.

12. Ache a diferença entre os descontos comercial e por dentro de um titulo, descontado à taxa de 6%, 12 dias antes do vencimento, sabendo-se que o desconto por fora vale R$ 50,10.

13. Uma duplicata sofreu R$ 60,00 de desconto comercial, 6 meses antes do seu vencimento, à taxa de 20/6% ao mês. Qual seria o seu desconto racional, à mesma taxa e no mesmo prazo?

14. Certa duplicata sofreu o desconto por dentro de R$ 45,00, à taxa de 2 1/12% a. m., 8 dias antes do seu vencimento. Qual seria o desconto comercial, nas mesmas condições?

15. Uma letra de R$ 10.100,00 foi descontada, por dentro, a 9% a. a., 40 dias antes do seu vencimento. Quanto mais seria o valor do desconto, se este tivesse sido por fora?

16. Uma duplicata de R$  4.920,00 foi descontada por fora, à taxa anual de 20%, 1 m 15 d antes do seu vencimento. Quanto menos seria o valor do desconto, se ele fosse por dentro?

GABARITO.

1. R$ 560,00	5. R$ 700,00	9. R$ 1,00	13. R$ 50,00
2. R$ 25,60	6. R$ 32,76	10. R$ 2,04	14. R$ 45,25
3. R$ 2.400,00	7. R$ 10,00	11. R$ 1,00	15. R$ 1,00
4. R$ 0,20	8. R$ 88,00	12. R$ 0,10	16. R$ 3,00

CÁLCULO DO VALOR LÍQUIDO.

1. Calcule o líquido produzido por uma letra que, descontada por dentro, 2 anos antes do seu vencimento, à taxa de 7 1/8% a. a., produziu R$ 2.565,00 de desconto.

2. I = 0,5% ao mês   T = 2 m 20 d    DD = R$ 1,60   VL = ?

3. Qual é o valor de uma letra de R$ 980,00, descontada por dentro, a 5%, em 4 1/2 anos?

4. I = 4,4% a. a.   T = 5 a    VL = ?   VN = R$ 48,80

5. Uma  promissória foi descontada 108 dias antes do vencimento, à taxa anual de 70%. Sendo a diferença entre os descontos por fora e o por dentro de R$ 441,00, calcule o valor atual.

6. Um título foi descontado à taxa de 50% a. a., 72 dias antes do seu vencimento. Sabendo-se que a diferença entre os descontos racional e o comercial é de R$ 1,25, ache o valor líquido.

7. Uma letra sofre um desconto comercial, à taxa de 10%, 6 meses antes do vencimento, e fica reduzida a R$ 19.950,00. A quanto ficaria reduzida, se o desconto fosse por dentro?

8. Uma letra sofre um desconto por dentro, à taxa mensal de 5,5%, 1 m 18 d antes do vencimento, e fica reduzida a R$ 1.250,00. A quanto ficaria reduzida, se o desconto por fora?

GABARITO.

1. R$ 18.000,00	4. R$ 40,00	7. R$ 20.000,00
2. R$ 120,00	5. R$ 10.000,00	8. R$ 1.240,32
3. R$ 800,00	6. R$ 125,00

CÁLCULO DO VALOR NOMINAL.

1. VN = ?   Taxa = 8% a. a.   T = 1 m 15 d   DD = R$ 40,00

2. Calcule o valor nominal de uma letra, que sofreu um desconto por dentro de R$ 28,00, à taxa mensal de 1/2%, 1 a 6 m 20 d antes do seu vencimento.

3. Calcule o valor nominal de uma letra de câmbio, cujo valor atual é R$ 1.000,00, sabendo-se que sofreu um desconto racional, à taxa mensal de 1/3%, 90 dias antes do vencimento.

4. Taxa: 5% a. a.  Tempo: 4 a   VN = ?  Valor atual: R$ 220,00

5. Qual o valor nominal de uma letra, cujo desconto por fora é R$ 3.300,00 e o por dentro três mil reais?

6. O desconto racional de uma letra, descontada a 5% a. a., 3 meses antes do vencimento, é de trezentos reais, e o desconto comercial da mesma letra, nas mesmas condições, é de R$ 303,75. Ache o valor nominal da letra.

7. A diferença  entre os descontos por fora e por dentro de um título, 2 meses antes do vencimento, à taxa de 15%, é de R$ 40,00. Qual é o valor nominal?

8. A diferença entre os descontos racional e comercial de uma duplicata é de R$ 8,25. Sabendo-se que os descontos foram feitos 5 meses antes do vencimento, e à taxa anual de 30%, calcule o valor nominal.

9. Descontou-se, por dentro, uma letra, vencível em 2 meses, à taxa de 80%. No entanto, se o desconto tivesse sido por fora, se receberia R$ 32,00 menos. Determine o valor nominal da letra.

10. Certa firma descontou, num banco, um título vencível a 60 dias, à taxa de 1% ao mês (desconto por dentro). Se o desconto, entretanto, tivesse sido por fora, receberia a firma menos R$ 9,60. Calcule o valor nominal do título.

GABARITO.

1. R$ 4.040,00	5. R$ 33.000,00	9. R$ 2.040,00
2. R$ 328,00	6. R$ 24.300,00	10. R$ 24.480,00
3. R$ 1.010,00	7. R$ 65.600,00
4. R$ 264,00	8. R$ 594,00

CÁLCULO DA TAXA.

1. V. A.= R$ 660,00   D. R. = R$ 0,44   T = 2,8 meses    I anual = ?

2. Uma duplicata, após sofrer o desconto por dentro de R$ 0,50, ficou reduzida a R$  12,50. Sabendo-se que o prazo é 2,5 anos, calcule a taxa.

3. A que taxa mensal se descontou, por dentro, uma letra de R$ 57.000,00, dois anos antes do seu vencimento, e que produziu o desconto de sete mil reais?

4. Sabendo-se que uma letra de R$ 4.597,00 produziu R$ 97,00 de desconto racional, 97 dias antes do seu vencimento, calcule a taxa anual usada nessa operação.

5. Um título de R$ 6.360,00 sofreu um desconto por dentro, ao prazo de 6 meses, e ficou reduzido a R$ 6.000,00. Determine a taxa.

6. VN = R$ 92,40   T= 112,5 d   I mensal = ?   Valor atual = R$ 84,00

7. Uma duplicata de R$ 290,00, que vence em 8.3.62, foi descontada em 27.1.62, e ficou reduzida em R$ 250,00. Qual foi a taxa mensal?

8. Valor nominal: R$ 309,66  D. D. = R$ 17,16  Vencimento: 28.10   Taxa mensal?  Data do desconto: 14.9

GABARITO.

1. 2/7% a. a.	3. 7/12% a. m.	5. 12% a. a.	7. 12% ao mês
2. 1,6% ao ano	4. 8%	6. 8/3%	8. 4% a. m.

CÁLCULO DO TEMPO.

1. Uma duplicata foi descontada à taxa de 55% a. a. e ficou reduzida a R$ 800,00. Sabendo-se que o desconto racional foi de R$ 220,00, Calcule o tempo.

2. Tempo: ?   DD: R$ 0,24   VL: R$ 0,48   I: 5%

3. Um título de R$ 2.250,00 sofreu um desconto por dentro, à taxa anual de 10%, ficando reduzido a R$ 2.000,00. Qual foi o tempo?

4. Determine o prazo (em dias) de uma duplicata de R$ 3.309,90, que descontada por dentro, à taxa mensal de 2/3%, produziu R$ 3.245,00 de valor líquido.

5. Em que tempo um título de R$ 20.800,00, descontado por dentro, à taxa de 6% a. a., sofreu o desconto de oitocentos reais?

6. Por que tempo se calculou o desconto racional de R$ 3.050,00, a 5% a. a., sabendo-se que o desconto é de R$ 170,00?

7. Citar a data (dia, mês e ano) do vencimento de uma nota promissória de R$ 65.920,00, que submetida a desconto por dentro em 12.4.60, à taxa de 1% ao mês, deu R$ 64.000,00 de valor atual.

8. Quando se vence uma letra de R$ 119,80, descontada à taxa de 105 a. a., no dia 28.1.74, tendo apresentado o desconto racional de R$ 23,80?

9. Uma letra, que se vence em 23.12, no valor de R$ 5,30, produziu um desconto racional de oitenta centavos, à taxa de 20/3% a. m. Em que data foi descontada?

10. Uma duplicata de R$ 5,50, descontada à taxa de 5% ao mês, apresentou o desconto por dentro de R$ 0,50. Sabendo-se que seu vencimento é em 31 de maio, determine quando foi descontada.

GABARITO.

1. 6 m	5. 8 m	9. 4.10
2. 10 a	6. 1 a 2 m 5 d	10. 1º de abril
3. 1 a 3 m	7. 11 de julho de 1960
4. 90 d	8. 23.4.74